Дисципліни за вибором для математиків і прикладників (кафедра фундаментальної математики)

СКАЧАТЬ

Динамічні системи.

для студентів 3 курсу спеціальностей

МАТЕМАТИКА, ПРИКЛАДНА МАТЕМАТИКА

Семестр 5

Лектор: старший викладач Колбасін Станіслав Олександрович

Структура курсу: 2 год. (лекції) + 2 год (практика)

Базові знання: основи математичного аналізу та звичайних диференційних рівнянь

Форма звітності: залік

Орієнтовний зміст:

Теорія динамічних систем вивчає якісну поведінку складних об’єктів з плином часу. Головним прикладом таких об’єктів для нас будуть диференційні рівняння, для яких у загальному випадку складно знайти та/або користуватися точними рішеннями. Спираючись на властивості диференційного рівняння як динамічної системи, ми можемо передбачити поведінку рішень, без необхідності шукати їх у явному вигляді. Теорія динамічних систем узагальнює такий якісний підхід для більш абстрактних ситуацій.

На початку курсу ми розберемо способи побудови динамічної системи та її відмінності від інших моделей складних об’єктів. Розглянемо численні приклади систем з дискретним та неперервним часом. На основі прикладів познайомимося з базовими поняттями теорії, як-то: фазовий простір, еволюційний оператор, траєкторії, інваріантні та граничні множини.

Головна частина курсу присвячена властивостям, які система демонструє при великих значеннях часу. Основною такою властивістю, що достатньо повно характеризує систему, є «стійка» поведінка; наприклад, присутність «зручної» граничної множини, до якої у тому чи іншому сенсі сходяться траєкторії системи. Формально це може бути описано через поняття дисипативності та асимптотичної компактності, і навіть більш повно – через існування глобального атрактору. Ми познайомимося з цими концепціями і встановимо базові теореми щодо їх та їхніх взаємовідносин.

Наприкінці курсу ми вивчимо деякі більш спеціальні питання, як-то: фрактальна вимірність, структура глобального атрактору, поведінка сімейства динамічних систем, залежних від параметру.

Ряди Фур’є  і  інтеграл Фур’є.

для студентів 3 курсу спеціальностей

МАТЕМАТИКА, ПРИКЛАДНА МАТЕМАТИКА

Навчальний семестр  5

Лектор: доктор наук,  професор  Дубовий  Володимир  Кирилович

Структура курсу: 2 год. (лекції) + 2 год (лекції/практ)

Базові знання: математичний аналіз, лінійна алгебра, звичайні диференціальні рівняння

Форма звітності: залік

Орієнтовний зміст:

  • Функції обмеженої  варіації.
  • Інтеграл Стільтьєса.
  • Загальний ряд  Фур’є . Нерівність  Бесселя,  рівність  Парсеваля.
  • Тригонометричний ряд  Фур’є.  Комплексна  форма  ряду  Фур’є.
  • Збіжність ряду  Фур’є  у  середньому  квадратичному.
  • Збіжність ряду  Фур’є  в  точці. Ознака Діріхле – Жордана.
  • Зображення функцій  рядами  Фур’є.
  • Теорема Фейера.
  • Повнота тригонометричної системи.
  • Властивості рядів  Фур’є.
  • Метод Фур’є  розв’язання  задач  математичної  фізики.
  • Інтеграл Фур’є.  Формула  обернення.
  • Збіжність інтеграла  Фур’є.
  • Перетворення Фур’є і  його властивості.
  • Застосування перетворення Фур’є до розв’язку диференціальних рівнянь.

Обєктно-орієнтоване програмування (мова С++)

для студентів 3 курсу спеціальності

МАТЕМАТИКА

Семестр 5 або 6

Лектор:к.ф.-м.н., доцент  Анощенко Ольга Олексіївна

Структура курсу: 2 год. (лекції) + 2 год (практ)

Базові знання: основи структурного програмування

Форма звітності: залік

Орієнтовний зміст:

  • Основні парадигми об‘єктно-орієнтовного програмування
  • Поняття класу. Протокол класу, його структура. Члени класу.
  • Спадкування, його види, особливості застосування.
  • Поліморфізм. Віртуальні функції. Чисто віртуальні функції. Абстрактні класи.
  • Перевантаження операцій.
  • Множинне спадкування. Віртуальні базові класи.
  • Шаблони функцій. Шаблони класів.
  • Виняткові ситуації. Обробка виняткових ситуацій.

Класичні задачі геометрії

для студентів 3 курсу спеціальностей

МАТЕМАТИКА, ПРИКЛАДНА МАТЕМАТИКА

Семестр 5

Лектор: доктор наук, доцент  Горькавий Василь Олексійович

Структура курсу: 2 год. (лекції) + 2 год (лекції/практ)

Базові знання: лінійна алгебра, математичний аналіз, звичайні диференціальні рівняння

Форма звітності: залік

Орієнтовний зміст:

  • Визначення кривих за заданими кривинами. Теорема Ніколаєвського.
  • Інтегральні нерівності для кривих. Нерівність Фенхеля. Нерівність Фері-Мілнора.
  • Відновлення замкнених кривих за сферичними індикатрисами. Теорема Вигодського.
  • Аналоги кривини та скруту для плоских та просторових полігонів.
  • Теорема про 4 вершини овалу
  • Ізопериметрична нерівність. Ізопериметрична властивість кола.
  • Теорема Жордана про замкнуті криві.
  • Теорема Коші про однозначну визначеність опуклих багатогранників.
  • Флексори. Гіпотеза ковальських міхів. Теорема Сабітова.
  • Теорема Лібмана про сферу.
  • Теорема про однозначну визначеність овалоїдів.
  • Теорема Гільберта про неможливість ізометричного занурення «в цілому» площини Лобачевського. Теорема Ефімова.
  • Псевдосферичні поверхні та їх перетворення Біанкі-Беклунда.

Елементи теорії стійкості та диференціальні рівняння з загаюванням (пам’ять)

 для студентів 3 курсу спеціальностей

 МАТЕМАТИКА, ПРИКЛАДНА МАТЕМАТИКА

Семестр 6

Лектор: к.ф.-м.н., доцент  Резуненко Олександр Вячеславович

Структура курсу: 2 год. (лекції)+2год (практ) на тиждень

Базові знання: бажано мати початкові навички з математичного аналізу та диференціальних рівнянь,  корисно мати уявлення про базові факти курсу “Динамічні системи”.

Форма звітності: залік

Орієнтовний зміст:

Вивчаються існування, єдиність та властивості розв’язків диференціальних рівнянь із загаюванням (пам’ять). Такі рівняння природньо виникають в усіх прикладних задачах, де враховується скінченність швидкості поширення сигналів і, як наслідок, загаювання (затримка) реакції в біологічних, хімічних і механічних системах.

Розглядаються різні типи загаювання. Починаючи із найпростішого випадку — сталого зосердженого загаювання (найпростіший приклад dx(t)/dt=Ax(t)+Bx(t-r), r>0) та продовжуючи вивчення сталого розподіленого та загаювання, що залежить від стану системи. Акцент робиться на дослідженні якісних властивостей, зокрема стійкість розв’язків. Вивчення теоретичного матеріалу супроводжується прикладами та вправами. Зокрема, розглядаються такі   сучасні біологічні моделі як популяційні (хижак-жертва, кооперативні), імунологія. В біологічних задачах загаювання може вимірюватись від долей секунди (рух очей за рухомим об’єктом) до декількох років (досягнення дорослого віку членами певної популяції). Таким чином, врахування ефектів загаювання є важливою складовою формулювання математичних моделей та суттєво впливає на методи дослідження. (Лектор: О.В.Резуненко).

Системи з загаюванням є класичними і, одночасно, сучасними прикладами нескінченно-вимірних динамічних систем. Іншим прикладом нескінченновимірних динамічних систем є диференціальні рівняння у часткових похідних. В цьому сенсі цей курс природньо вкладається в пакет курсів Математичної фізики. Курс побудований таким чином, що основні необхідні факти з математичного аналізу та диференціальних рівнянь будуть нагадані при їх застосуванні.

Якщо виникають питання, що пов’язані з курсом — сміливо пишіть на rezounenko@karazin.ua. Всі зацікавлені в цьому сучасному напрямку математики запрошуються!

Теорія операторів

для студентів 3 курсу спеціальностей

МАТЕМАТИКА, ПРИКЛАДНА МАТЕМАТИКА

Навчальний семестр  6

Лектор: д.ф.-м.н,  професор Єгорова Ірина  Євгенівна

Структура курсу: 2 год. (лекції) + 2 год (практ або лекції)

Базові знання: лінійна алгебра, комплексний аналіз, теорія міри та інтегралу.

Форма звітності: залік

Орієнтовний зміст:

  • Геометрія гільбертова простору. Існування ортонормальних базисів. Розмірність гільбертова простору.
  • Обмежений лінійний оператор. Спряжений оператор.
  • Компактний оператор. Альтернатива Фредгольма і її застосування до інтегральних рівнянь.
  • Проєктуючі оператори. Симетричні оператори.
  • Спектр та резольвента самоспряженого оператора.
  • Спектральна теорема для компактного оператора.
  • Спектральна теорема для симетричного обмеженого оператора.
  • Спектральний аналіз нескінченної матриці Якобі.

Диференціальна геометрія.

(продовження курсу)

для студентів 3 курсу спеціальності

 ПРИКЛАДНА МАТЕМАТИКА

(спільно зі студентами спеціальності «математика»)

Семестр 6

Лектор: доктор наук, доцент  Ямпольський Олександр Леонідович

Структура курсу: 2 год. (лекції)+2год (практ) на тиждень

Базові знання: диференціальна геометрія (теорія кривих), звичайні диференціальні рівняння, лінійна алгебра.

Форма звітності: екзамен/залік (за вибором)

Орієнтовний зміст:

  • Друга фундаментальна форма поверхні.
  • Головні кривизни і головні напрямки. Гаусова кривина поверхні.
  • Лінії кривини та асимптотичні лінії.
  • Дериваційні формули Гауса і Вейнгартена. Рівняння Гауса і Кодацці.
  • Абсолютний (коваріантний) диференціал векторного поля.
  • Метрики сталої кривини.
  • Геодезичні як екстремалі функціонала довжини.
  • Мінімальні поверхні.
  • Формула Гауса-Боне. Інтегральна формула Гауса.
  • Елементи тензорного аналізу та його застосування в геометрії.