Дисципліни за вибором для математиків

Курси вільного вибору студента

ФУНДАМЕНТАЛЬНА МАТЕМАТИКА

3 курс

5-й семестр: 1 предмет (4 кредити, 4 години на тиждень, форма звітності – залік):

1. Ряди Фур’є і інтеграл Фур’є
2. Динамічні системи.

На кожний з курсів набирається група з не менш ніж 9 слухачів. Остаточний склад груп визначається кафедрою.
6-й семестр: 2 перемети (по 3 кредити, 3 години на тиждень кожний, форма звітності – заліки):
1. Класичні задачі геометрії.
2. Теорія операторів.
3. Розподіл коренів многочленів.

У переліку вибраних курсів студенти можуть вказати більше ніж два курси на випадок, якщо якісь курси не будуть відкриті або групи будуть перевантажені. Остаточний склад груп і перелік відкритих курсів визначається кафедрою.
Дисципліна вільного вибору студента

Ряди Фур ’є і інтеграл Фур’є.

для студентів 3 курсу спеціальності
МАТЕМАТИКА

Навчальний семестр 5

Лектор: доктор наук, професор Гордевський В’ячеслав Дмитрович

Структура курсу: 2 год. (лекції) + 2 год (лекції/практ)

Орієнтовний зміст:

• Функції обмеженої варіації.
• Інтеграл Стільтьєса.
• Загальний ряд Фур’є . Нерівність Бесселя, рівність Парсеваля.
• Тригонометричний ряд Фур’є. Комплексна форма ряду Фур’є.
• Збіжність ряду Фур’є у середньому квадратичному.
• Збіжність ряду Фур’є в точці. Ознака Діріхле – Жордана.
• Зображення функцій рядами Фур’є.
• Теорема Фейера.
• Повнота тригонометричної системи.
• Властивості рядів Фур’є.
• Метод Фур’є розв’язання задач математичної фізики.
• Інтеграл Фур’є. Формула обернення.
• Збіжність інтеграла Фур’є.
• Перетворення Фур’є і його властивості.
• Застосування перетворення Фур’є до розв’язку диференціальних
рівнянь.

Дисципліна вільного вибору студента

Динамічні системи.

для студентів 3 курсу спеціальності
МАТЕМАТИКА

Семестр 5

Лектор: Ст. викл. Колбасін Станіслав
Структура курсу: 2 год. (лекції) + 2 год (практика)

Орієнтовний зміст: Теорія динамічних систем вивчає якісну поведінку складних об’єктів з плином часу. Головним прикладом таких об’єктів для нас будуть диференційні рівняння, для яких у загальному випадку складно знайти та/або користуватися точними рішеннями. Спираючись на властивості диференційного рівняння як динамічної системи, ми можемо передбачити поведінку рішень, без необхідності шукати їх у явному вигляді. Теорія динамічних систем узагальнює такий якісний підхід для більш абстрактних ситуацій.
На початку курсу ми розберемо способи побудови динамічної системи та її відмінності від інших моделей складних об’єктів. Розглянемо численні приклади систем з дискретним та неперервним часом. На основі прикладів познайомимося з базовими поняттями теорії, як-то: фазовий простір, еволюційний оператор, траєкторії, інваріантні та граничні множини.
Головна частина курсу присвячена властивостям, які система демонструє при великих значеннях часу. Основною такою властивістю, що достатньо повно характеризує систему, є «стійка» поведінка; наприклад, присутність «зручної» граничної множини, до якої у тому чи іншому сенсі сходяться траєкторії системи. Формально це може бути описано через поняття дисипативності та асимптотичної компактності, і навіть більш повно – через існування глобального атрактору. Ми познайомимося з цими концепціями і встановимо базові теореми щодо їх та їхніх взаємовідносин.
Дисципліна вільного вибору студента

КЛАСИЧНІ ЗАДАЧІ ГЕОМЕТРІЇ

для студентів спеціальності МАТЕМАТИКА

Навчальний семестр 6

Лектор: д.ф.-м.н., доцент Горькавий В.О.

Структура курсу: 2 год. (лекції) + 1 год. (практика)

Орієнтовний зміст: Запропонований курс представляє собою «додаткові глави» до базових курсів з аналітичної та диференціальної геометрії. А саме, в рамках курсу передбачається розглянути класичні результати з теорії кривих та поверхонь, що зазвичай не викладаються в рамках основного курсу диференціальної геометрії, але в той же час мають певну математичну цінність і значущість з точки зору розвитку сучасної геометрії. Основну увагу буде приділено теоремам класичної геометрії «в цілому», що стосуються властивостей замкнених кривих та поверхонь, а також проблематиці сучасної геометричної теорії багатогранників. За формою проведення занять, крім лекційних та практичних занять, передбачається також підготовка заслуховування обговорення студентами наукових доповідей за обраною тематикою в рамках курсу.

 

Дисципліна вільного вибору студента

Теорія операторів

для студентів 3 курсу спеціальності МАТЕМАТИКА

Навчальний семестр 6

Лектор: д.ф.-м.н, професор Щербина Марія Володимирівна (Л)
к.ф.-м.н, ст.. викл. Щербина Олексій Сергійович

Структура курсу: 2 год. (лекції) + 1 год (практ)

Орієнтовний зміст:

• Геометрія гільбертова простору. Існування ортонормальних базисів. Розмірність гільбертова простору.
• Обмежений лінійний оператор. Спряжений оператор.
• Компактний оператор. Альтернатива Фредгольма і її застосування до інтегральних рівнянь.
• Проєктуючі оператори. Симетричні оператори.
• Спектр та резольвента самоспряженого оператора.
• Спектральна теорема для компактного оператора.
• Спектральна теорема для симетричного обмеженого оператора.
• Спектральний аналіз нескінченної матриці Якобі.
Дисципліна вільного вибору студента

РЗПОДІЛ КОРЕНІВ МНОГОЧЛЕНІВ

для студентів спеціальності МАТЕМАТИКА

Навчальний семестр 6

Лектор: к.ф.-м.н., доцент Вишгнякова Г.М.

Структура курсу: 2 год. (лекції) + 1 год. (практика)

Орієнтовний зміст: Програма навчальної дисципліни складається з таких розділів:
• Центр мас многочлена відносно точки.
• Зв’язок розподілу коренів многочлена та його похідної.
• Цілі функції класу Лагера-Поліа.
• Послідовності множників.
• CZDS-оператори.

Метою дисципліни є ознайомлення з теорією розподілу коренів многочленів і цілих функцій класу Лагера-Поліа. По закінченню курсу студенти будуть
знати :
– Класичні теореми Лагера, Грейса і Сеге про розподіл коренів многочленів.
– Теореми Гауса, Коши і і Енестрьома-Какейї щодо зв’язку розподілу коренів многочлена і його похідної.
– Характеризації класу цілих функцій Лагера-Поліа.
– Теорему Поліа про послідовності множників першого та другого роду..
– Теореми Лагера про CZDS-оператори.
вміти :
– Застосовувати теореми Лагера, Грейса, Сеге для локалізації коренів деяких класів многочленів.
– Знаходити сім’ю аполярних многочленів для даного многочлена і застосовувати її для отримання інформації про геометричний розподіл коренів.
– Перевіряти, чи є дана послідовність дійсних чисел послідовністю множників, а також використовувати теорему Лагера про CZDS-оператори для локалізації коренів деяких многочленів і цілих функцій.

 

Курси вільного вибору студента

ФУНДАМЕНТАЛЬНА МАТЕМАТИКА

4 курс

7-й семестр: 3 предмети (4 кредити, 4 години на тиждень, форма звітності – екзамен):

1. Ріманова геометрія
2. Вступ до обернених задач спектрального аналізу
3. Банахові алгебри і спектральна теорія
4. Асимптотичні методи математики
5. Шаблони в об’єктно-орієнтованому програмуванні

У переліку вибраних курсів студенти можуть вказати більше ніж три курси на випадок, якщо якісь курси не будуть відкриті або групи будуть перевантажені. Остаточний склад груп і перелік відкритих курсів визначається кафедрою

8-й семестр: 6 переметів (по 4 кредити, 4 години на тиждень кожний, форма звітності – екзамен/залік за вибором в кількості 3 заліки і 3 екзамени):

1. Геометрія підмноговидів
2. Додаткові розділи функціонального аналізу
3. Функції багатьох комплексних змінних
4. Простори Соболєва та теорія необмежених операторів
5. Елементи теорії стійкості та диференціальні рівняння із загаюванням
6. Алгебри Лі
7. Чисельні методи

У переліку вибраних курсів студенти можуть вказати більше ніж шість курси на випадок, якщо якісь курси не будуть відкриті або групи будуть перевантажені. Остаточний склад груп і перелік відкритих курсів визначається кафедрою.

Примітка. Один з предметів у восьмому семестрі можна вибрати з переліку курсів за вибором кафедри прикладної математики, що має відповідну кількість кредитів.
Дисципліна вільного вибору студента

РІМАНОВА ГЕОМЕТРІЯ

для студентів спеціальності

МАТЕМАТИКА

Навчальний семестр 7

Лектор: д.ф.-м.н., доцент Горькавий В.О.

Структура курсу: 2 год. (лекції) + 2 год. (практика)

Орієнтовний зміст: Запропонований курс є природним продовженням і розвиненням попередніх базових курсів з елементарної, аналітичної та диференціальної геометрії (теорії кривих та поверхонь). В рамках курсу будуть розглянуті фундаментальні геометричні конструкції, пов’язані з поняттям ріманової метрики на многовидах та породжених і пов’язаних з нею конструкцій. Увагу буде приділено викладу основ тензорного обчислення і теорії гладких многовидів, як базового технічного апарату досліджень, та розгляду питань стосовно геодезичних ліній та паралельного перенесення на ріманових многовидах, ізометричних занурень ріманових многовидів, властивостей кривини ріманових многовидів та інш. В якості застосування методів та ідей ріманової геометрії, передбачається викладення математичних основ спеціальної та загальної теорії відносності. Лекційний матеріал планується супроводити розв’язанням певної кількості конкретних задач та прикладів, в тому числі – із застосуванням комп’ютерних засобів символьних математичних обчислень.
Дисципліна вільного вибору студента

Вступ до обернених задач спектрального аналізу

для студентів спеціальності
МАТЕМАТИКА

Навчальний семестр 7

Лектор: д.ф.-м.н, професор Шепельський Д.Г.

Структура курсу: 2 год. (лекції) + 2 год (практика)
Орієнтовний зміст:
У природознавстві, прямі та обернені задачі можна (з певною долею умовності) поділити таким чином: (1) Прямі задач відносяться до ситуацій, коли відома (за своїми властивостями) система піддається зовнішньому впливу, і треба спрогнозувати результати реакції системи на цей вплив. Відповідно, (2) у обернених задачах, внутрішні властивості системи («чорний ящик») невідомі та шукаються за результатами вимірювання відкликів системи на зовнішні впливи певного роду.
Математичною мовою, пряма задача відповідає ситуації, коли маємо систему рівнянь (алгебраїчних, функціональних, диференційних, …), і потрібно розшукати розв’язки системи, що задовольняють певним умовам. У випадку оберненої задачі, треба знайти рівняння у певному класі (напр., знайти коефіцієнти рівнянь певного типу), якщо відома якась інформація про достатню кількість розв’язків (напр., що відповідають різним значенням деякої параметра, який входить в опис системи).
У запропонованому курсі, обернені задачі будуть вивчатися на прикладі нескінченновимірної системи, що визначається диференційним рівнянням Штурма-Ліувілля

яке розглядається на скінченному інтервалі, з деякими заданими умовами на границях інтервалу. Спочатку досліджується пряма задача, в якій коефіцієнт вважається відомим, а вивчаються власні значення (допустимі значення ) та відповідні власні функції (розв’язки рівняння). Зокрема, вивчається питання асимптотичного розподілу (нескінченної) множини власних значень. Далі, на підставі результатів, отриманих при аналізі прямих задач, досліджується обернена задача: За даною множиною чисел, визначити функцію таку, що власні значення отриманого рівняння Штурма- Ліувілля співпадають з цією множиною чисел. Основна увага приділяється питанням єдиності: яку спектральну інформацію слід знати, щоб вона визначила єдиним чином.

Дисципліна вільного вибору студента

Банахові алгебри і спектральна теорія

для студентів 4 курсу спеціальності

МАТЕМАТИКА

Семестр 7

Лектор: канд. фіз.-мат. наук, доцент Гефтер Сергій Леонідович

Структура курсу: 2 год. (лекції) + 2 год (практ)

Орієнтовний зміст:

• Основні поняття, приклади. Гомоморфізми, характери, ідеали,подалгебри.
• Резольвента, спектр, спектральний радіус. Теорема Гельфанда-Мазура.
• Теорія комутативних банахових алгебр. Спектр та зображення Гельфанда.
• Основні поняття теорії С*-алгебр.
• Теорема Гельфанда-Наймарка про зображення комутативної С*-алгебри.
• Голоморфне функціональне числення у банахових алгебрах.
• Неперервне функціональне числення у С*-алгебрах та його застосування.
• Спектральна теорема для обмеженого нормального оператора у гільбертовому просторі.

Дисципліна вільного вибору студента
Асимптотичні методи математики
для студентів спеціальності
МАТЕМАТИКА
Навчальний семестр 7
Лектор: д.ф.-м.н., проф. Щербина Марія Володимирівна (Л)
к.ф.-м.н, доцент Рижкова-Герасимова Ірина Анатоліївна (П)
Структура курсу: 2 год. (лекції) + 2 год (лекції)
Орієнтовний зміст:
Курс складається з двох циклів: «асимптотичні методи математики» та «узагальнені функції».
В циклі «асимптотичні методи математики» Буде розглянуто ряд цікавих задач з комбінаторики, аналітичної теорії чисел, аналізу та математичної фізики, що були вирішені у 20 сторіччі методами асимптотичного аналізу.
Усі ці проблеми можна звести до вивчення інтегралів та сум, що містять великий параметр. У курсі будуть вивчені методи аналізу таких інтегралів та сум, зокрема, метод Лапласа, метод найскорішого спуску та метод підсумовування Пуасона. Особливу увагу буде приділено проблемі асимптотичної поведінки діаграм Юнга та їх зв’язку з іншими задачами комбінаторики та математичної фізики. Ця частина базується на серії лекцій Філдсовського лауреата А.Окунькова, що він прочитав у Кембриджі.
До початку 20-го сторіччя теорія рівнянь з частинними похідними вивчала лише класичні розв’язки, тобто такі, що усі похідні, що входять до рівняння, є неперервними. Але таке поняття розв’язку не охоплювало багато важливих з фізичної точки зору випадків, наприклад, розривні навантаження, прикладені до пружного тіла. Точкові навантаження та щільність точкових джерел взагалі не можуть бути описані за допомогою звичайних функцій.
В 30-х роках 20-го сторіччя для потреб квантової фізики Поль Дірак запровадив поняття δ-функції, яка дорівнювала нулю в усіх точках N-вимірного простору, крім нуля, та інтеграл від неї по всьому простору дорівнював одиниці. Дурниця з математичної точки зору… але це працювало. Математики пройти мимо не могли, отже в 40-х – 50-х роках розробили теорію узагальнених функцій, яка дозволяла, зокрема, строго визначити δ-функцію та вивчати диференціальні рівняння з даними, що не є неперервними.
В циклі «узагальнені функції» ми будемо вивчати власне узагальнені функції, які визначаються як лінійні неперервні функціонали на придатних функціональних просторах. Ми узагальнимо для них поняття похідної, згортки, перетворення Фур’є. Будуть розглянуті застосування узагальнених функцій в теорії диференціальних рівнянь та обробці сигналів.
Основні факти даного курсу будуть використані в курсі «Простори Соболєва
Шаблони в об’єктно-орієнтованому програмуванні

для студентів 4 курсу спеціальності
МАТЕМАТИКА

Навчальний семестр 7

Лектор:к.ф.-м.н., доцент Анощенко Ольга Олексіївна

Структура курсу: 2 год. (лекції) + 2 год (практика)

Форма звітності: залік

Орієнтовний зміст:

• Множинне спадкування. Віртуальні базові класи.
• Шаблони функцій.
• Шаблони класів.
• Виняткові ситуації. Обробка виняткових ситуацій.
• Шаблони класів вводу-виводу.

Дисципліна вільного вибору студента

ГЕОМЕТРІЯ ПІДМНОГОВИДІВ

для студентів спеціальностей
МАТЕМАТИКА, ПРИКЛАДНА МАТЕМАТИКА

Навчальний семестр 8

Лектор: к.ф.-м.н Є.В. Петров

Структура курсу: 4 год. (лекції)

Базові знання: диференціальна геометрія, ріманова геометрія

Форма звітності: залік

Орієнтовний зміст:

Курс присвячений вивченню основних понять сучасної диференціальної геометрії підмноговидів та ізометричних занурень. Він починається з основних понять диференціальної топології, які дозволяють визначити поняття підмноговиду. Далі вивчаються основні рівняння геометрії підмноговидів. За допомогою цієї техніки ми вивчаємо підмноговиди у просторах постійної кривини, гіперповерхні, опуклі та мінімальні підмноговиди, підмноговиди з паралельним вектором середньої кривини.

 

Дисципліна вільного вибору студента

Додаткові розділи функціонального аналізу

для студентів спеціальностей
МАТЕМАТИКА, ПРИКЛАДНА МАТЕМАТИКА

Навчальний семестр — 8
Лектор: д.ф.-м.н, доцент Кадець Володимир Михайлович

Структура курсу: 4 год. лекцій

Орієнтовний зміст: Курс містить розділи функціонального аналізу, на які не вистачає часу в основному курсі: теореми про нерухомі точки та їх застосування; компактні топологічні групи та існування міри Гаара; крайні точки опуклих множин і теорема Крейна-Мільмана, слабка збіжність та / або інші розділи за побажаннями слухачів, якщо лекторові ці розділи відомі 🙂

Дисципліна вільного вибору студента

Функції багатьох комплексних змінних

для студентів спеціальностей
МАТЕМАТИКА, ПРИКЛАДНА МАТЕМАТИКА

Навчальний семестр _8_

Лектор: д.ф.-м.н, професор __Фаворов С.Ю.__

Структура курсу: 2 год. (лекції) + 2 год (практ або лекції)

Орієнтовний зміст:
Цей курс є у деякому сенсі продовження фундаментального курсу
«Комплексний аналіз», розповсюдження основних теорем на випадок функцій, що залежать від багатьох комплексних змінних.
При цьому найбільшу увагу приділяється ефекту, якого немає для функцій однієї змінної, а саме примусовому аналітичному продовженню голоморфних функцій.

Програма курсу: Спеціальні позначення. Кратні степеневі ряди. Області збіжності кратних степеневих рядів. Система радіусів збіжності. Нерівність Коши. Умови Коши-Римана. Інтегральна формула Коши. Теорема про розклад в степеневий ряд. Голоморфні функції в кратно-кругових областях. Теорема про аналітичне продовження. Ряди Гартогса та голоморфна опуклість. Означення субгармонійної функції та її властивості. Лема Гартогса. Плюрісубгармонійні функції. Ряди та області Гартогса. Голоморфна опуклість та оболонки голоморфності, псевдо опуклість. Теорема Картана-Туллена.
d-проблема для форм з компактним носієм. Теорема про “заклеювання дір”. d-проблема у полікрузі. Мероморфні функції багатьох змінних. Перша проблема Кузена у полікрузі. Друга проблема Кузена у полі крузі. Поліноми Вейерштрасса, підготовча теорема Вейерштрасса.
Дисципліна вільного вибору студента

Простори Соболєва та теорія необмежених операторів.
для студентів спеціальностей
МАТЕМАТИКА, ПРИКЛАДНА МАТЕМАТИКА
Навчальний семестр 8

Лектор: к.ф.-м.н, доцент Фастовська Т.Б.

Структура курсу: 2 год. (лекції) + 2 год (лекції/практ)

Орієнтовний зміст:в курсі вивчаються різні види просторів Соболєва, що є природними енергетичними просторами для диференціальних рівнянь у частинних похідних у сенсі слабких розв’язків. Також розглядається теорія необмежених операторів (на відміну від обмежених операторів, що вивчалися у курсі «Функціональний аналіз»), на основі якої розвивається теорія напівгруп лінійних диференціальних рівнянь. Наводяться приклади застосування цих теорій до вивчення розв’язності та властивостей диференціальних рівнянь у частинних похідних. Курс є підготовчим для обов’язкового курсу 1 семестру магістратури «Диференціальні рівняння у частинних похідних».
Дисципліна вільного вибору студента
Елементи теорії стійкості та диференціальні рівняння з загаюванням (пам’ять)
для студентів спеціальностей
МАТЕМАТИКА, ПРИКЛАДНА МАТЕМАТИКА
Навчальний семестр — 8

Лектор: к.ф.-м.н, доцент Резуненко Олександр Вячеславович
Структура курсу: 2 год. лекцій + 2год. (практ/лекції)
Орієнтовний зміст: Вивчаються існування, єдиність та властивості розв’язків диференціальних рівнянь із загаюванням (пам’ять). Такі рівняння природньо виникають в усіх прикладних задачах, де враховується скінченність швидкості поширення сигналів і, як наслідок, загаювання (затримка) реакції в біологічних, хімічних і механічних системах.
Розглядаються різні типи загаювання. Починаючи із найпростішого випадку — сталого зосердженого загаювання (найпростіший приклад dx(t)/dt=Ax(t)+Bx(t-r), r>0) та продовжуючи вивчення сталого розподіленого та загаювання, що залежить від стану системи. Акцент робиться на дослідженні якісних властивостей, зокрема стійкість розв’язків. Вивчення теоретичного матеріалу супроводжується прикладами та вправами. Зокрема, розглядаються такі сучасні біологічні моделі як популяційні (хижак-жертва, кооперативні), імунологія. В біологічних задачах загаювання може вимірюватись від долей секунди (рух очей за рухомим об’єктом) до декількох років (досягнення дорослого віку членами певної популяції). Таким чином, врахування ефектів загаювання є важливою складовою формулювання математичних моделей та суттєво впливає на методи дослідження.
Оскільки звичайні диференціальні рівняння є частковим випадком диференціальних рівнянь з загаюванням, для успішного опанування матеріалу бажано мати початкові навички з математичного аналізу та диференціальних рівнянь. Для більш глибокого розуміння основних ідей, що закладені в курсі, корисно мати уявлення про базові факти курсу “Динамічні системи”. Системи з загаюванням є класичними і, одночасно, сучасними прикладами нескінченновимірних динамічних систем. Іншим прикладом нескінченновимірних динамічних систем є диференціальні рівняння у часткових похідних. В цьому сенсі цей курс природньо вкладається в пакет курсів Математичної фізики. Курс побудован таким чином, що основні необхідні факти з математичного аналізу та диференціальних рівнянь будуть нагадані при їх застосуванні.
Якщо виникають питання, що пов’язані з курсом — сміливо пишіть на rezounenko@karazin.ua.
Всі зацікавлені в цьому сучасному напрямку математики запрошуються!
Подальша інформація: http://puremath.univer.kharkov.ua/~rezounenko

Дисципліна вільного вибору студента

Алгебры Ли

для студентів спеціальностей
МАТЕМАТИКА, ПРИКЛАДНА МАТЕМАТИКА

Навчальний семестр 8

Лектор: к.ф.-м.н, доцент Е.А. Каролинский
Структура курсу: 2 год. (лекції) + 2 год (практ або лекції)

Орієнтовний зміст:

• Мета курсу — викласти класичну структурну теорію комплексних напів-простих алгебр Лі та їх представлень.

Планується розглянути наступні питання.

• Визначення алгебри Лі.
• Алгебра Лі групи Лі. Функтор Лі.
• Представлення алгебр Лі.
• Нільпотентн та розв’язні алгебри Лі, теореми Енгеля і Лі, критерій Картана розв’язуваності.
• Напівпрості алгебри Лі, критерій Картана напівпростоти.
• Кореневе розкладання напівапростої алгебри Лі. Класифікація напів-простих алгебр Лі в термінах систем коренів.
• Класифікація незвідних представлень напівпростих алгебр Лі в термінах старших ваг.

Дисципліна вільного вибору студента
Чисельні методи
для студентів спеціальностей
МАТЕМАТИКА, ПРИКЛАДНА МАТЕМАТИКА
Навчальний семестр 8
Лектор: к.ф.-м.н, доцент Рижкова-Герасимова Ірина Анатоліївна
Структура курсу: 2 год. (лекції) + 2 год (практика)
Орієнтовний зміст: Чи пробували Ви просумувати гармонічний ряд на комп’ютері? А спробуйте… Коли часткова сума досягне значення близько 35, вона перестане змінюватись після додавання чергового доданку 1/n. Чи пробували Ви обчислювати розв’язок системи лінійних рівнянь за правилом Крамера? Скільки часу знадобиться для невеличкої системи розміру 50х50?
Навіть якщо існують точні формули, обчислення за ними може потребувати занадто багато часу, або ж обчислення з рухомою точкою можуть викликати проблеми. Це не кажучи про задачі, які не мають розв’язків в явному виді.
В курсі ми познайомимось з теоретичними та практичними аспектами основних задач теорії наближених обчислень. Особлива увага буде приділятися питанням практичної оцінки точності отриманих розв’язків, обчислювальній складності методів, вибору методу розв’язання для конкретної задачі.
Ми будемо вивчати числа з рухомою точкою та проблеми, що виникають при їх використанні (втрата значущих розрядів, циклічні діри та ін.)
Задача пошуку кореня рівняння тільки здається простою. Ми познайомимось з як з базовими, так і з сучасними комбінованими методами пошуку кореня, а також з критеріями оцінки точності його знаходження.
Ми будемо вивчати поліноміальну інтерполяцію та інтерполяцію сплайнами, а також деякі види двовимірної інтерполяції та її застосування для обробки зображень. В курсі буде вивчено основні наближені формули одновимірного інтегрування та способи практичної оцінки похибки інтегрування.
При розв’язанні великих систем лінійних рівнянь вплив похибок обчислень с рухомою точкою є досить значним. Крім того, постає питання оптимального використання пам’яті. Ми познайомимось з різними методами розв’язання лінійних систем, з оптимізацією витрат пам’яті та обчислювального часу для розріджених систем (з матрицями, більшість елементів в яких дорівнює нулю), розглянемо вплив обчислень з рухомою точкою на точність розв’язків систем та методи практичної оцінки точності розв’язків. Також ми торкнемося питання вибору метода для розв’язання лінійної системи.
Для деяких систем звичайних диференціальних рівнянь (ЗДР) більшість чисельних методів дають незадовільні результати (так звані жорсткі системи). Зазвичай це зв’язано з інтервалами швидкої зміни розв’язку або присутністю двох компонент, одна з яких змінюється дуже швидко відносно іншої. Ми приділимо особливу увагу методам для розв’язання жорстких систем та методам практичної оцінки отриманих розв’язків.
Для проведння практичних занять буде використовуватись середовище Octave.

 

Освітній рівень МАГІСТР

Курси вільного вибору студента

2 курс

1-й семестр: 3 предмети (4 кредити, 4 години на тиждень, форма звітності – екзамен):

1. Групи Лі та однорідні простори
2. Математичні задачі кінетичної теорії
3. Задача Рімана Гільберта та нелінійні рівняння
4. Варіаційні методи математичної фізики

У переліку вибраних курсів студенти можуть вказати більше ніж три курси на випадок, якщо якісь курси не будуть відкриті або групи будуть перевантажені. Остаточний склад груп і перелік відкритих курсів визначається кафедрою.
2-й семестр: 2 перемети (по 4 кредити, 4 години на тиждень кожний, форма звітності – екзамен):

1. Точні та наближені розв’язки рівняння Больцмана
2. Базиси в банахових просторах
3. Маловимірна геометрія та топологія

У переліку вибраних курсів студенти можуть вказати більше ніж два курси на випадок, якщо якісь курси не будуть відкриті або групи будуть перевантажені. Остаточний склад груп і перелік відкритих курсів визначається кафедрою.
Дисципліна вільного вибору студента
Освітній рівень МАГІСТР

ГРУПИ ЛІ ТА ОДНОРІДНІ ПРОСТОРИ

для студентів спеціальності МАТЕМАТИКА

Навчальний семестр 3

Лектор: к.ф.-м.н Є.В. Петров

Структура курсу: 4 год. (лекції)

Базові знання: аналіз на многовидах, ріманова геометрія, загальна та лінійна алгебра

Орієнтовний зміст:

Курс присвячений теорії Лі і її застосуванню до задач диференціальної геометрії. Зокрема, курс включає такі теми:

• Топологічні групи тагрупи Лі. Матричні групи.
• Алгебри Лі. Алгебра Лі групи Лі.
• Представлення груп та алгебр Лі.
• Основні теореми теорії Лі.
• Ліво інваріантні та біінваріантні метрики,їхні кривини.
• Деякі спеціальні класи алгебр та груп Лі.
• Гладка дія групи Лі на многовиді та однорідні простори груп Лі.
• Інваріантна метрика. Рімановий однорідний простір.
• Ріманові субмерсії.
• Кривина інваріантної метрики.
• Симетричні простори, їхній алгебраїчний опис та кривини.
Дисципліна вільного вибору студента
Освітній рівень МАГІСТР

ЗАДАЧА РІМАНА-ГІЛЬБЕРТА ТА НЕЛІНІЙНІ РІВНЯННЯ

для студентів спеціальності МАТЕМАТИКА

Навчальний семестр 3

Лектор: д.ф.-м.н, професор Шепельський Д.Г.

Структура курсу: 2 год. (лекції) + 2 год (практ або лекції)
Базові знання: комплексний аналіз, основи теорії звичайних диференціальних рівнянь
Орієнтовний зміст:
Серед нелінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними виділяється клас рівнянь, який має назву «нелінійні інтегровні рівняння». Для таких рівнянь ефективним методом дослідження є метод «оберненої задачі розсіяння», який «лінеарізує» вихідне рівняння. Цей метод можна вважати нелінійним аналогом методу перетворення Фур’є, який ефективно застосовуються для знаходження розв’язків лінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними. У основі цього методу лежить аналіз спектральної задачі особливого типу – «задачі розсіяння», яка ставиться для звичайного лінійного диференціального рівняння, що пов’язане з вихідним нелінійним рівнянням. Зокрема, пряма задача розсіяння є основою заміни змінних для вихідного рівняння, за якої воно стає лінійним. Основною проблемою застосування методу є розв’язання оберненої задачі розсіяння, що дозволяє повернутись до рівняння у початкових (фізичних) змінних.
У запропонованому курсі, аналізується варіант методу оберненої задачі розсіяння у вигляді задачі аналітичної факторизації (у площині спектрального параметра) типу Рімана-Гільберта. Зокрема, буде показано, що зображення розв’язку вихідного нелінійного рівняння у термінах розв’язків відповідної задачі Рімана-Гільберта є основою ефективного асимптотичного аналізу (за великим часом) розв’язків задачі Коші для нелінійних інтегровних еволюційних рівнянь.
У якості модельного рівняння, для якого буде реалізована схема дослідження на основі задачі Рімана-Гільберта, розглядається нелінійне рівняння Шредінгера
Дисципліна вільного вибору студента
Освітній рівень МАГІСТР

Варіаційні методи математичної фізики

для студентів спеціальності МАТЕМАТИКА

Навчальний семестр 3

Лектор: к.ф.-м.н, доцент_Фастовська Т.Б
Структура курсу: 2 год. (лекції) + 2 год (практ/лекції)

Базові знання:функціональний аналіз, математичний аналіз, диференціальні рівняння, рівняння математичної фізики.

Орієнтовний зміст:в курсі розглядаються основні варіаційні методи знаходження наближених розв’язків звичайних диференціальних рівнянь та рівнянь у частинних похідних та сіткові схеми чисельного розв’язання диференціальних рівнянь на основі варіаційних методів. Також вивчаються методи чисельних оцінок власних значень операторів за допомогою варіаційних методів. Розглядаються приклади з теорії пружності. Курс є,у деякій мірі, продовженням курсів «Чисельні методи» та «Диференціальні рівняння у частинних похідних», але не вимагає обов’язкового попереднього вивчення цих курсів.
Дисципліна вільного вибору студента
Освітній рівень МАГІСТР

Математичні задачі кінетичної теорії

Семестр 3 (спільно з магістрами 1 курсу)

Лектор: доктор. фіз.-мат. наук, професор Гордевський Вячеслав Дмитрович

Структура курсу: 2 год. (лекції) + 2 год (практ.)

Базові знання: математичний аналіз, диференціальні рівняння у частинних похідних
Форма звітності: залік

Орієнтовний зміст:

В курсі буде розглянуто основні положення кінетичної теорії газів, деякі моделі взаємодії між молекулами, нелінійне кінетичне інтегро-диференціальне рівняння Больцмана, його точні розв’язки — максвеліани, досліджено їх загальний вигляд та фізичний сенс.

 

Дисципліна вільного вибору студента
Освітній рівень МАГІСТР

Точні та наближені розв’язки рівняння Больцмана

Семестр 4

Лектор: доктор. фіз.-мат. наук, професор Гордевський Вячеслав Дмитрович

Структура курсу: 2 год. (лекції) + 2 год (практ.)

Базові знання: математичний аналіз, диференціальні рівняння у частинних похідних, курс за вибором «математичні задачі кінетичної теорії»

Орієнтовний зміст: В курсі буде побудовано бімодальні розподіли, які мінімізують різні відхили між частинами рівняння Больцмана з довільним степенем точності. В якості максвеліанів беруться як глобальні, так і локальні розподіли різного вигляду, проаналізовано геометричні та фізичні особливості здобутих наближених розв’язків.
Дисципліна вільного вибору студента
Освітній рівень МАГІСТР

Базиси в просторах Банаха
для студентів спеціальності МАТЕМАТИКА

Навчальний семестр — 4

Лектор: д.ф.-м.н, доцент Кадець Володимир Михайлович

Структура курсу: 4 год. лекцій

Базові знання: Курс функціонального аналізу

Орієнтовний зміст: Означення базису та споріднені поняття; критерій базису; приклади базисів у конкретних просторах; блок-базиси та доведення попарної неізоморфності класичних просторів послідовностей; натягуючі та обмежено повні базиси, критерій рефлексивності у термінах базисів. Квазирефлексивний простір Джеймса. Безумовно збіжні ряди та безумовні базиси. Особлива роль просторів Сo та С1. Теорема Даугавета та відсутність безумовного базису у просторі C[0,1].
Дисципліна вільного вибору студента
Освітній рівень МАГІСТР

Маловимірна геометрія та топологія

для студентів спеціальності МАТЕМАТИКА

Навчальний семестр 4

Лектор: д.ф.-м.н, Болотов Д.В
Структура курсу: 2 год. (лекції) + 2 год (практ/лекції)

Базові знання: Диференціальна та аналітична геометрія, вища та лінійна алгебра.

Форма звітності: залік

Орієнтовний зміст: Основою курсу буде книга В. Терстона‘Тривимірна геометрія та топологія’ та книга П. Скотта “Геометрії на тривимірних многовидах”. Спочатку будуть розглянуті геометрії, які виникають надвовимірних поверхнях та вивчено їх зв’язок із топологією поверхонь. Потім ми введемо заТерстоном 8 модельних3-вимірних геометрій та сформулюємо теорему геометрізації. Ми вивчимо властивості дискретних групп ізометрій цих геометрій та доведемо, що компактні геометрізовані 3-вимірні многовиди допускають лише одну з терстоновських геометрій. Особливу увагу ми приделимо геометріям, які виникають на спеціальних 3-вимірних многовидах, наприклад, які допускають структуру розшарування Зейферта, або є розшаруванням над колом. Буде також розглянуто гіперболічні многовиди скінченного об’єму та надано приклади повних гіперболічних многовидів на доповненні к вузлам та зчеплень, зокрема буде розглянуто повну гіперболічну структуру на доповненні до вузла “вісімка”.